2. 우월전략 (Dominant Strategy)

이번 포스팅에서는 우월전략에 대해서 알아보겠습니다!

Strategic-form Game

우선 게임이론을 이해하기 위해서는 수학적인 표현에 익숙해져야 하는데요, 앞서 알아봤던 게임의 네 가지 요소 중 Player, Strategies, Payoff를 수식을 통해서 표현해보도록 하겠습니다. 저번 포스팅에서 언급했던 '죄수의 딜레마' 그래프를 참고하면서 생각하시면 이해가 편하실 겁니다. 평면의 그래프로 그릴 수 있는, Strategic-form Game을 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$$\Gamma = [N, (S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i \in N}]$$

 

1. $N \equiv$ {Players}
   • $N$은  말 그대로 Player들을 모두 담은 집합입니다.
   • 위의 예시에는 두 명의 Player가 있으므로 {Chuck, Nate}가 됩니다.
2. 모든 $i \in N$에 대해, $S_i \equiv$ {Strategies for Player $i$}
   • $S_i$는 각 Player $i$가 갖고 있는 전략의 선택지들을 담은 집합입니다.
   • Chuck 입장에서는 선택할 수 있는 전략은 두 가지 이므로, {Confess, Not Confess}가 됩니다.
3. 모든 $i \in N$에 대해, $u_i: S \to \mathbb{R}$는 Payoff 함수 for Player $i$
   • 위의 수식에 너무 겁먹을 필요는 없습니다!
   • 왼쪽의 $S$는 모든 Player들이 선택할 수 있는 전략의 집합을 뜻합니다. 위에서 배운 $S_i$는 한 Player의 선택만 다루기 때문에, $S_i$와는 다릅니다. 한 사람이 아니라 모든 Player들의 선택을 다 다뤄주어야 하기 때문이죠! 예를 들어 (Confess, Confess)가 된다면 둘 다 자백을 한다는 뜻이 됩니다.
   • 오른쪽의 $\mathbb{R}$는 실수의 집합을 뜻합니다.
   • 즉, $u_i$는 모든 Player들이 어떠한 전략을 선택하면 Player $i$ 입장에서 나오는 결과(Payoff)를 나타내주는 함수가 됩니다. 또 그 결과는 숫자(실수)로 표현된다는 뜻입니다.
   • Chuck 입장에서는 둘 다 자백을 하면 5년형을 선고받게 되므로, $u_{Chuck}($(Confess, Confess)$) = -5$가 됩니다.

 

그리고, 가장 중요한 핵심 가정은 "모든 Player는 이성적(Rationality)이고, 이 사실을 모두 알고 있다(Common knowledge of Rationality)" 입니다! 즉, 이득(Payoff)를 극대화 하려고 노력한다는 것이죠!!

 

우월전략 (Dominant Strategy)

우선 편의를 위해 용어 하나를 정해놓고 넘어가겠습니다. 보다 복잡한 게임에서는 Player가 두 명이 아니라 매우 여러 명이 될 수도 있습니다. 매번 모든 Player의 전략을 쓰는 것은 힘들기 때문에 $S_{-i}$을 Player $i$를 제외한 사람들이 선택한 어떠한 전략이라고 하겠습니다. 

 

우선 한 전략이 다른 전략보다 우월하다는 의미가 무엇인지부터 정의해보겠습니다. Chuck 입장에서 자백을 하는 것이 안하는 것보다 우월하게 된다는 것이 무슨 뜻일까요? 우선 간단하게는 더 큰 이득을 갖다주어야 한다는 의미로 생각할 수도 있습니다. 하지만 게임이라는 상황은 상대방의 다양한 선택에 따라서 나오는 결과값이 매우 달라지죠! 그러므로 상대방에 어떠한 선택을 하든지간에 더 큰 이득을 갖다주는 것이 더 우월한 전략이라고 정의해야 합니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

어떠한 전략 $s_i \in S_i$가 $s_i' \in S_i$보다 더 우월하다는 것은,

모든 $S_{-i} \in S_j$에 대하여, $u_i(s_i, S_{-i}) > u_i(s_i', S_{-i})$가 된다는 것이다.

 

그리고 어떠한 전략이 '우월전략'이다라는 것은 Player $i$가 선택할 수 있는 나머지 모든 전략보다 우월하다는 뜻입니다.

 

위의 예시를 통해 Chuck의 우월전략을 알아봅시다. 우월전략인지 알아보기 위해서는 Nate의 두 가지 선택을 모두 고려해보아야 하죠.

1. Nate가 자백을 선택했을 때
   • 자백: 5년형
   • 자백 안함: 15년형
2. Nate가 자백 안함을 선택했을 때
   • 자백: 무죄
   • 자백 안함: 1년형

모든 상황에서 자백을 하는 것이 Chuck에게 더 큰 이득을 가져다 줍니다! 그러므로 Chuck 입장에서는 자백을 하는 것이 우월전략이 되겠죠! Nate 역시 Chuck과 아예 똑같은 상황이므로, 자백을 하는 것이 우월전략이 됩니다. 둘 다에게 우월전략이 존재하므로, 이 때 둘 다 자백을 선택할 수밖에 없게 될 것입니다. 이를 우리는 Strictly Dominant Strategy Solution이라고 부르겠습니다. 이가 존재한다면, 사람들의 머릿속에서 시뮬레이션을 돌려보았을 때 아무래도 자백을 선택할 수 밖에 없게 됩니다.

 

하지만 우월전략에도 하나의 한계가 있습니다. 바로 우월전략이 아예 존재하지 않을 수도 있다는 것입니다. 이러한 예시의 그래프를 밑에다가 남겨두겠습니다. 한번 보시고, 이번 포스팅을 복습하면서 왜 우월전략이 존재하지 않는지 고민해보시면 좋을 것 같습니다! ㅎㅎ (상대방의 선택에 따라서 어떠한 게 더 큰 이득을 주는지를 그래프 자체에 표시하면서 해보면 편합니다. Chuck 입장은 동그라미, Nate 입장은 세모로 한번 표시해보세요! 총 두 개의 동그라미와 두 개의 세모가 그려져야 합니다.)